Seminar Algebraic Geometry

I will present three double octic Calabi--Yau threefolds over the certain quadratic fields and prove their modularity. The non-rigid threefold has two conjugate Hilbert modular forms of weight [4,2] and [2,4] attached while the two rigid threefolds correspond to a Hilbert modular form of weight [4,4] and to the twist of the restriction of a classical modular form of weight 4.

It is a joint work with M. Schuett (Hannover) and D. van Straten (Mainz) - arXiv:1810.04495

W 2003 roku Jerald Kovacic opublikował swoją fundamentalną pracę "The differential Galois theory of strongly normal extensions" w której przeformułował główne idee Ellisa Kolchina dotyczące różniczkowej teorii Galois, przede wszystkim uwalniając całą teorię od nieco przestarzałych i bardzo abstrakcyjnych sformułowań w języku różniczkowych ciał uniwersalnych. W moim referacie przedstawię teorię Kovacica w odniesieniu do rozszerzeń Picarda-Vessiota i jej zastosowanie do algebraicznych rozszerzeń ciał funkcyjnych w geometrii afinicznej. W drugiej części pokażę zastosowanie rozwiniętej teorii do ciał różniczkowych ultrametrycznych i kilka zaskakujących wniosków dotyczących Hipotezy Jakobianowej w n-wymiarowej przestrzeni afinicznej.

W klasyfikacji rozmaitości rozróżniamy za pomocą różnych niezmienników. Niezmienniki mogą być liczbami, lub bardziej skomplikowanymi obiektami. Gdy niezmiennik jest dobry możemy oczekiwać, że rozmaitości które posiadają tę samą wartość tego niezmiennika są bardzo do siebie podobne. Mówimy wtedy że rozmaitości są równoważne względem tego niezmiennika. Omówimy kilka ciekawych równoważności które pojawiają się pomiędzy rozmaitościami Calabi-Yau. W szczególności interesować nas będzie D-równoważność związana z kategorią pochodną rozmaitości oraz L-równoważność pochodzącą od klasy w zlokalizowanym pierścieniu Grothendiecka. Oprócz prezentacji ogólnych twierdzeń i hipotez związanych z tymi pojęciami, przedstawimy kilka przykładów.

We will talk about the birational classification of algebraic varieties, starting from known results in low dimension and moving toward conjectural statements in higher dimensional geometry.

W trakcie referatu uogólnimy konstrukcję wielowymiarowych rozmaitości Calabi-Yau z pracy [Cynk-Hulek] dopuszczając krzywe eliptyczne z automorfizmem stopnia 6. Omówimy również sposób wyznaczenia liczb Hodge’a powstałych w ten sposób rozmaitości.

Wielomian Hilberta $m$-krotnej prostej w $\mathbb P^3$ wylicza liczbę warunków zadawanych przez tę prostą na powierzchnie stopnia $t$. Przy większej liczbie generycznych prostych te warunki mogą być zależne, przez co powstają "nieoczekiwane" powierzchnie. Podam przykład czterech nieoczekiwanych, nierozkładalnych powierzchni i zajmę się dokładniej najciekawszą z nich - powierzchnią stopnia 12, znikającą wzdłuż sześciu prostych z krotnością 3 i jednej z krotnością 2. Pokażę, że dla generycznego układu prostych ta powierzchnia jest jedyna, nierozkładalna, gładka poza prostymi oraz ogólnego typu.

Niech $A$ będzie dowolnym podzbiorem zbioru liczb naturalnych. Wówczas definiujemy zbiór ilorazów zbioru $A$ jako $R(A)=\left\{\frac{a}{b}: a,b\in A, b\neq 0\right\}$. Oznaczmy jako $S_m^n$ zbiór wszystkich liczb postaci $x_1^n+\dots+x_m^n$, gdzie $x_1,\dots,x_m$ są liczbami naturalnymi. W 2017 roku S. R. Garcia, Y. X. Hong, F. Luca, E. Pinsker, C. Sanna, E. Schechter i A. Starr udowodnili, że zbiór $R(S_m^2)$ jest gęsty w ciele liczb $p$-adycznych wtedy i tylko wtedy, gdy $m\geq 3$ lub $m=2$ i $p\equiv 1\pmod{4}$ oraz że zbiór $R(S_m^2)$ jest gęsty w ciele liczb $p$-adycznych wtedy i tylko wtedy, gdy $m\geq 2$. Celem referatu jest przedstawienie wyników, jakie uzyskałem razem z N. Murru i C. Sanną. Przedstawię pełną klasyfikację trójek $(m,n,p)$, $m,n\in\mathbb{N}_+, p\in\mathbb{P}$, dla których zbiór $R(S_m^n)$ jest gęsty w $\mathbb{Q}_p$, a także omówię pewne warunki implikujące gęstość zbioru $R(f(\mathbb{N}))$ w $\mathbb{Q}_p$, gdzie $f\in\mathbb{Z}[X]$. Następnie skupię się na moich samodzielnych wynikach, które są w trakcie przygotowania. Mianowicie, omówię zagadnienie gęstości asymptotycznych (względem zbioru liczb pierwszych) zbiorów postaci $\mathbb{P}_f$, gdzie $\mathbb{P}_f$ jest zbiorem liczb pierwszych, dla których $R(f(\mathbb{N}))$ jest gęsty w $\mathbb{Q}_p$. Wykorzystując twierdzenie Frobeniusa i znajomość grup Galois pewnych wielomianów nierozkładalnych, wykażę, że zbiór względnych gęstości asymptotycznych zbiorów $\mathbb{P}_f$ jest gęsty w przedziale $[0,1]$.

Nakryciem Kleina gładkiej krzywej nazywamy czterokrotne nakrycie nierozgałęzione o grupie monodromii izomorficznej z grupą czwórkową Kleina. Takie nakrycia definiowane są przez podgrupy Kleina punktów dwutorsyjnych Jakobianu. W związku z tym, rozróżniamy dwa rodzaje nakryć: izotropiczne i nieizotropiczne w zależności od wartości parowania Weila na podgrupie. Nieizotropiczne nakrycia zostały omówione na wykładzie w dniu 22.05.2017. Po przypomnieniu podstawowych faktów, omówimy własności izotropicznych nakryć Kleina krzywych genusu 2. W szczególności, pokażemy, że powstałe krzywe genusu 5 zawierają 7 inwolucji, opiszemy krzywe ilorazowe i scharakteryzujemy rozmaitości Prym nakryć. Powyższe wyniki powstały we współpracy z dr Angelą Ortegą.

Przedstawię aksjomatyczną definicję klas Cherna wiązek wektorowych oraz przykłady zastosowania klas Cherna w geometrii algebraicznej, np. do wyznaczania charakterystyki Eulera pełnych przecięć.

Na podstawie pracy: A. Fernandes i J. E. Sampaio, On Lipschitz rigidity of complex analytic sets, której głównym rezultatem jest dowód tego, że afiniczny zespolony zbiór algebraiczny, który jest lipschitzowsko regularny w nieskończoności, to jest, po wyjęciu pewnego zbioru zwartego jest bi-lipschitzowski ze skończenie wymiarową przestrzenią afiniczną (również bez pewnego zbioru zwartego), sam musi być skończonie wymiarową przestrzenią afiniczną.

Having been a full professor at the University of Erlangen, the Technical University in Munich, and the University of Leipzig, Klein joined the University of Göttingen in 1886. He had gained international recognition with his significant achievements in the fields of geometry, algebra, and the theory of functions. On this basis, he was able to create a centre for mathematical and scientific research in Göttingen.

This lecture will demonstrate that Felix Klein was far ahead of his time in supporting all avenues of mathematics, its applications, and mathematical pedagogy. It will be showed that he was internationally oriented, supported mathematically gifted students regardless of their sex, religion, and nationality.

The establishment of new lectures, professorships, institutes, and curricula went hand in hand with the creation of new examination requirements for prospective secondary school teachers. In Germany, all mathematical instruction at universities was aimed at training future teachers.

Tematem mojego referatu będą sposoby wyznaczania stałej Waldschmidta ideału punktów generycznych o z góry zadanych krotnościach w płaszczyźnie rzutowej $\mathbb{P}^2$. W trakcie referatu przedstawię różne metody, które można wykorzystać w celu wyznaczania stałej Waldschmidta, wliczając w to odwzorowanie Cremony, metodę "podziału trójkąta" lub metodę sklejania, wraz z licznymi przykładami.